Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點D、E分別為邊AB、BC中點，點P從點A出發，沿射線AB方向以每秒5個單位長度的速度向點B運動，到點B停止．當點P不與點A重合時，過點P作PQ∥AC，且點Q在直線AB左側，AP＝PQ，過點Q作QM⊥AB交射線AB于點M．設點P運動的時間為t（秒）

（1）用含t的代數式表示線段DM的長度；

（2）求當點Q落在BC邊上時t的值；

（3）設△PQM與△DEB重疊部分圖形的面積為S（平方單位），當△PQM與△DEB有重疊且重疊部分圖形是三角形時，求S與t的函數關系式；

（4）當經過點C和△PQM中一個頂點的直線平分△PQM的內角時，直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜t≤時，DM＝﹣9t+10，當＜t≤4時，DM＝9t﹣10；（2）s；（3）當＜t≤時，重疊部分是△DMK，S）＝t2﹣t+．當≤t≤4時， S＝6t2﹣48t+96．（4）t的值為s或s．

【解析】

（1）分點M在線段AD上或點M在線段AD的延長線時兩種情形分別求解．

（2）當點Q落在BC上時，由PQ∥AC，可得，由此構建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：①如圖3-1中，當＜t≤時，重疊部分是△DMK．②如圖3-2中，當≤t≤4時，重疊部分是△PBK，分別求解．（4）分兩種情形：①如圖4-1中，當直線CQ平分∠PQM時，設直線CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．利用全等三角形的性質，平行線分線段成比例定理，構建方程即可．②如圖4-2中，當CM平分∠QMP時，作CG⊥AB于G．求出AM的長，構建方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，

∴AB＝，

∵PQ∥AC，

∴∠A＝∠QPM，

∵∠C＝∠PMQ＝90°，

∴△ACB∽△PMQ，

∴,

∴,

∴PM＝4t，MQ＝3t，

當0＜t≤時，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．

當＜t≤4時，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．

（2）如圖2中，

當點Q落在BC上時，∵PQ∥AC，

∴,

∴，

解得t＝，

∴當點Q落在BC邊上時t的值為s．

（3）如圖3﹣1中，當＜t≤時，重疊部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．

如圖3﹣2中，當≤t≤4時，重疊部分是△PBK，S＝PKBK＝×（20﹣5span>t）（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．

（4）如圖4﹣1中，當直線CQ平分∠PQM時，設直線CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．

∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，

∴△QGK≌△QGM（AAS），

∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，

∴PG＝PK＝t，

∵PQ∥AC，

∴，

∴，

∴t＝ ．

如圖4﹣2中，當CM平分∠QMP時，作CG⊥AB于G．

∵ACBC＝ABCG，

∴CG＝，AG＝，

∵∠CMG＝∠GCM＝45°，

∴CG＝GM＝，

∴AM＝9t＝，

解得t＝ ，

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．