Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點D是AB的中點，點E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使點A落在點A′處，當A′E⊥AC時，A′B＝_________．

Answer 1

【答案】或7

【解析】分析：分兩種情況：①如圖1，作輔助線，構建矩形，先由勾股定理求斜邊AB=10，由中點的定義求出AD和BD的長，證明四邊形HFGB是矩形，根據同角的三角函數列式可以求DG和DF的長，并由翻折的性質得：∠=∠A， =AD=5，由矩形性質和勾股定理可以得出結論： =；②如圖2，作輔助線，構建矩形，同理可以求出的長．

詳解：分兩種情況：

如圖1,過D作DG⊥BC與G,交A′E與F,過B作BH⊥A′E與H，

∵D為AB的中點，

∴BD=AB=AD,

∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴BD=AD=5，

sin∠ABC=，

∴ ，

∴DG=4，

由翻折得：∠DA′E=∠A,A′D=AD=5，

∴sin∠DA′E=sin∠A= ，

∴，

∴DF=3，

∴FG=43=1，

∵A′E⊥AC，BC⊥AC，

∴A′E∥BC，

∴∠HFG+∠DGB=180°，

∵∠DGB=90°，

∴∠HFG=90°，

∵∠EHB=90，

∴四邊形HFGB是矩形，

∴BH=FG=1，

同理得：A′E=AE=81=7，

∴A′H=A′EEH=76=1，

在Rt△AHB中,由勾股定理得：A′B=；

②如圖2,過D作MN∥AC,交BC與于N,過A′作A′F∥AC,交BC的延長線于F,延長A′E交直線DN于M，

∵A′E⊥AC,

∴A′M⊥MN,A′E⊥A′F，

∴∠M=∠MA′F=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠F=∠ACB=90°，

∴四邊形MA′FN是矩形，

∴MN=A′F,FN=A′M，

由翻折得：A′D=AD=5，

Rt△A′MD中,∴DM=3,A′M=4，

∴FN=A′M=4，

Rt△BDN中，∵BD=5，

∴DN=4，BN=3，

∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，

BF=BN+FN=3+4=7，

Rt△ABF中,由勾股定理得：A′B=；

綜上所述的長為或

故答案為： 或.

本題考查的是圖形的翻折變換及等腰直角三角形的性質、矩形的性質、平行線分線段成比例定理及勾股定理的綜合運用，題型難度較大.