Question

【題目】拋物線y=x2-mx+m2-2（m為大于0的常數）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）

（1）若點A的坐標為（1，0）

①求拋物線的表達式；

②當n≤x≤2時，函數值y的取值范圍是-≤y≤5-n，求n的值；

（2）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到新的函數的圖象，如圖，當2＜x＜3時，若此函數的值隨x的增大而減小，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①y=x2-3x+n的值為-1；（2）1≤m≤2或m≥5．

【解析】

（1）①將點A（1，0）代入y=x2-mx+m2-2，可求m,再求解析式；②根據所求二次函數解析式，從函數圖像的變化情況得n2-3n+=5-n，解方程可得n;（2）由y=0時，x2-mx+m2-2=0，可求出點A,B的坐標，拋物線的對稱軸x=-=m；①當m＞3時，有m-2≥3；②當m≤2時，有m+2≥3，綜上所述：可得m的取值范圍．

解：（1）①將點A（1，0）代入y=x2-mx+m2-2，得：0=-m+m2-2，

解得：m1=3，m2=-1（舍去），

∴拋物線的表達式為y=x2-3x+．

②∵拋物線的表達式為y=x2-3x+，

∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-=3，

∴當n≤x≤2時，y隨x的增大而減小．

∵當n≤x≤2時，函數值y的取值范圍是-≤y≤5-n，

∴n2-3n+=5-n，即n2-4n-5=0，

解得：n1=5（不合題意，舍去），n2=-1，

∴n的值為-1．

（2）當y=0時，x2-mx+m2-2=0，即[x-（m+2）][x-（m-2）]=0，

解得：x1=m-2，x2=m+2，

∴點A的坐標為（m-2，0），點B的坐標為（m+2，0）．

∵拋物線的表達式為y=x2-mx+m2-2，

∴對稱軸為直線x=-=m．

①當m＞3時，有m-2≥3，

解得：m≥5；

②當m≤2時，有m+2≥3，

解得：m≥1，

∴1≤m≤2．

綜上所述：m的取值范圍為1≤m≤2或m≥5．