Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE=OC, 連接 CE、OE，連接AE交OD于點F．（1）求證：OE=CD （2）若菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1)證明四邊形OCED是矩形即可；(2)在Rt△ACE中，求出AC，CE的長，則可用勾股定理求AE.

詳解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，DE＝AC，∴AC⊥BD，DE＝OC.

∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形.

∵AC⊥BD，四邊形OCED是平行四邊形，

∴四邊形OCED是矩形，∴OE＝CD.

(2)證明：∵菱形ABCD的邊長為6，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC.

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6.

∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，∴OD＝.

∵四邊形OCED是矩形，∴CE＝OD＝.

∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝，

∴AE＝.