Question

【題目】已知點P是Rt△ABC斜邊AB所在直線上的一個不與A、B重合的動點，分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F，點Q為斜邊AB的中點

（1）當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　 ，QE與QF的數量關系是　 ，并說明理由；

（2）當點P不與點Q重合時，判斷QE與QF的數量關系并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF， QE＝QF，理由見解析；（2）①當點P在線段AB上不與點Q重合時，QE＝QF，證明見解析；②當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，結論QE＝QF成立，證明見解析.

【解析】

（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可．

解：（1）如圖1，

當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是QE＝QF，

理由是：∵Q為AB的中點，∴AQ＝BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，

∴△AEQ≌△BFQ（AAS），

∴QE＝QF，

故答案為：AE∥BF，QE＝QF；

（2）①當點P在線段AB上不與點Q重合時，QE＝QF，

證明：延長EQ交BF于D，如圖2，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，又∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF；

②當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，

證明：延長EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，

又，∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF．