Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點E是BC邊上一動點（不與點C重合）對角線AC與BD相交于點O，連接AE，交BD于點G．

（1）根據給出的△AEC，作出它的外接圓⊙F，并標出圓心F（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，連接EF．①求證：∠AEF＝∠DBC；

②記t＝GF2+AGGE，當AB＝6，BD＝6時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①證明見解析②9≤t≤12

【解析】

（1）作EC的垂直平分線，其與BD的交點即為外心F；

（2）連接AF，EF，利用菱形的性質及外心的定義可證明∠DBC＝90°﹣∠ACB及∠AEF＝90°﹣∠ACB，可推出結論；

（3）先證△ABG∽△FEG，再證△EFB∽△GFE，由相似三角形的性質可推出t＝GF2+AGGE＝GF2+GFBG＝GF（GF+BG）＝GFBF＝EF2，在菱形ABCD中，AC⊥BD，EF＝AF≥AO，∴EF2≥AO2＝32＝9，當點F與點O重合時，AF最大，求出此時t的最大值為12，即可寫出t的取值范圍．

解：（1）如圖1，⊙F為所求作的圓；

（2）①證明：

如圖2，連接AF，EF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠DBC＝90°﹣∠ACB，

∵FA＝FE，

∴∠AEF＝∠FAE，

∴∠AEF＝（180°﹣∠AFE）＝90°﹣∠AFE，

又∠ACB＝∠AFE，

∴∠AEF＝90°﹣∠ACB，

又∵∠DBC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AEF＝∠DBC；

②解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠ABD＝∠CBD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝×，

在Rt△ABO中，AO＝，

又∵∠AGB＝∠FGE，∠ABG＝∠FEG，

∴△ABG∽△FEG，

，

∴AGGE＝GFBG，

∵∠GEF＝∠FBE，∠GFE＝∠EFB，

∴△EFB∽△GFE，

∴，

∴GFBF＝EF2，

∴t＝GF2+AGGE＝GF2+GFBG＝GF（GF+BG）＝GFBF＝EF2，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，EF＝AF≥AO，

∴EF2≥AO2＝32＝9，

如圖3，當點F與點O重合時，AF最大，

由題意可知：AF＝BF，設AF＝x，則OF＝3﹣x，

∵AO2+OF2＝AF2，

∴32+（3﹣x）2＝x2，

解得，x＝2，

∴當x＝2時，t的最大值為12，

∴9≤t≤12．