Question

19．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D為邊AB上一點，CD繞點D順時針旋轉90°至DE，CE交AB于點G．已知AD=8，BG=6，點F是AE的中點，連接DF，求線段DF的長2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，將△ACD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一點H，使得NH=NE，連接HE，PG，由△GCD≌△GCP，推出DG=PG，再證明△CDM≌△DEN，只要證明DF是△AHE中位線，求出HE即可解決問題．

解答 解：如圖，將△ACD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一點H，使得NH=NE，連接HE，PG．

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC}\\{∠GCP=GCD}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=6，PB=AD=8，
∴PG=DG=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AB=AD+DG+BG=24，CM=AM=MB=12，DM=AM-AD=4，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠EDN}\\{∠CMD=∠DNE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=4，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
∴DF=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查旋轉變換、全等三角形判定和性質、勾股定理、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用三角形中位線定理解決線段問題，屬于中考壓軸題．