Question

5．某超市在五十天內試銷一款成本為40元/件的新型商品，此款商品在第x天的銷售量p（件）與銷售的天數x的關系為p=120-2x，銷售單價q（元/件）與x滿足：當1≤x＜25時，q=x+60；當25≤x≤50時，q=40+$\frac{1125}{x}$．
（1）求該超市銷售這款商品第x天獲得的利潤y（元）關于x的函數關系式；
（2）這五十天，該超市第幾天獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）根據y=p（q-40），根據1≤x＜25時，q=x+60；25≤x≤50時，q=40+$\frac{1125}{x}$分別代入可得；
（2）根據二次函數的性質和反比例函數的性質分別求得最大值，比較可得．

解答 解：（1）y=p（q-40），
當1≤x＜25時，y=（120-2x）（x+60-40）=-2x²+80x+2400；
當25≤x≤50時，y=（120-2x）（40+$\frac{1125}{x}$-40）=$\frac{135000}{x}$-2250；

（2）當1≤x＜25時，y=-2x²+80x+2400=-2（x-20）²+3200，
∴當x=20時，y取得最大值3200；
當25≤x≤50時，y=$\frac{135000}{x}$-2250，
當x=25時，y取得最大值為3150；
答：該超市第20天獲得的利潤最大，最大利潤為3200元．

點評 本題主要考查二次函數的應用與反比例函數的應用，根據題意得出y關于x的函數解析式及熟練掌握函數的性質是解題的關鍵．