Question

【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的⊙O過點E．
（1）求證：四邊形ABCD的是菱形；
（2）若CD的延長線與圓相切于點F，已知直徑AB=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵AE=CE，BE=ED，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

即AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形

（2）解：連接OF，

∵CF為⊙O的切線，

∴∠OFC=90°，

∵AB=4，

∴OA=OB=2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=4，

過D作DH⊥AB于H，

則DH=OF=2，

∠DAH=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAC=∠BAC=15°，

∴∠BOE=2∠BAC=30°，

∴S扇形BOE= = ，S△AOE= =1，

∴S陰影=S半圓O﹣S△AOE﹣S扇形BOE= ﹣1﹣ = π﹣1

【解析】（1）根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據菱形的判定得出即可；（2）連接OF，過D作DH⊥AB于H，分別求出扇形BOE、△AOE、半圓O的面積，即可得出答案．