Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證；

（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，有AD=2DH，在直角三角形DEB中，有EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．

試題解析：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∵∠ADE=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF．