Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點P，過點P作AB、AC（或延長線）的垂線，垂足分別是M、N，求證：BM=CN．

Answer 1

【答案】證明：連接BD，CD，如圖，

∴DE是BC的垂直平分線，

∴BD=CD，

∵AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

在Rt△BMD和Rt△CND中，

，

∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），

∴BM=CN

【解析】因為ED是BC的垂直平分線，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，根據角平分線的性質可得DM=DN，再根據HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，從而有BM=CN．
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等即可以解答此題．