Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，軸于點，點在反比例函數的圖像上．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）求面積；

（3）在坐標軸上是否存在一點，使得以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，簡述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．

【解析】

（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出反比例函數的表達式；
（2）由點A的坐標可得出OC，AC的長，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，進而可得出∠AOC＝30°，結合三角形內角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所對的直角邊為斜邊的一半可求出AB的長，再利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）根據勾股定理可求出OB的長，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質可求出點P的坐標，此題得解．

（1）把代入反比例函數，得：，

所以反比例函數的表達式為；

（2），軸于，

，，

，

，

∴∠OAC＝60°，

，

，

，

，

；

（3）存在，

在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，

∴OB＝，

分三種情況考慮：

①當OP＝OB時，如圖2所示，

∵OB＝，

∴OP＝，

∴點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；

②當BP＝BO時，如圖3，

當點P在y軸上時，過點B做BD⊥y軸于點D，則OD＝BC＝ABAC＝3，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OD＝6，

∴點P的坐標為（0，6）；

當點P在x軸上時，

∵BP＝BO，

∴OP＝2OC＝，

∴點P的坐標為（，0）；

③當PO＝PB時，如圖4所示．

若點P在x軸上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∴OP＝OB＝，

∴點P的坐標為（，0）；

若點P在y軸上，設OP＝a，則PD＝3a，

∵PO＝PB，

∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3a）2＋3，

解得：a＝2，

∴點P的坐標為（0，2），

綜上所述：在坐標軸上存在一點P，使得以O、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，6）或（0，2）．