Question

【題目】如圖，在四邊形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，則下列結論正確的有（　　）

（1）A、O、B、C四點共圓

（2）AC＝BC

（3）cos∠1＝

（4）S四邊形AOBC＝

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由圓內接四邊形的判定定理得出A、O、B、C四點共圓，（1）正確；

作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，由角平分線的性質得出CD＝CE，證出∠CAD＝∠4，由AAS證明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，AC＝BC，（2）正確；

由三角函數定義得出cos∠1+cos∠2＝，即可得出（3）正確；

由三角形面積公式和三角函數得出S四邊形AOBC＝，（4）正確；即可得出結論．

∵∠3+∠4＝180°，

∴A、O、B、C四點共圓，（1）正確；

作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如圖所示：

則∠CDA＝∠CEB＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴CD＝CE，

∵∠3+∠4＝180°，∠3+∠CAD＝180°，

∴∠CAD＝∠4，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（AAS），

∴AD＝BE，AC＝BC，（2）正確；

∵cos∠1＝，cos∠2＝，

∴cos∠1+cos∠2＝，

∵∠1＝∠2，

∴cos∠1＝cos∠2，

∴2cos∠1＝，

∴cos∠1＝，（3）正確；

∵CD＝CE，sin∠1＝，

∴CD＝c×sin∠1，

∴S四邊形AOBC＝S△OAC+S△BOC＝a×CD+b×CE＝（a+b）CD＝（a+b）×c×sin∠1＝，（4）正確；

正確的結論有4個，

故選：D．