Question

【題目】已知函數的關系式是L1：y=kx2+（k﹣2）x﹣2

（1）下列說法中正確的序號有 ：

①當k=1時，其頂點坐標為（，）；

②當k=2時，二次函數的圖象關于y軸對稱；

③無論k為何非零值，二次函數都經過（﹣1，0）和（0，﹣2）；

（2）求證：無論k為何值時，函數圖象與x軸總有交點；

（3）已知二次函數L1的圖象與x軸相交于點A、B，頂點為P，若k＞0，且△ABP為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）②③；（2）見解析；（3）2﹣2．

【解析】

試題分析：（1）當k=1時，把y=x2﹣x﹣2配成頂點式即可對①解析判斷；當k=2時，y=2x2﹣2，拋物線的對稱軸為y軸，則可對②解析判斷；根據二次函數圖象上點的坐標特征對③解析判斷；

（2）分類討論：當k=0時，原函數為一次函數y=﹣2x﹣2，則圖象一定與x軸有一個交點；當k≠0時，利用判別式的意義可判斷二次函數圖象與x軸有交點，所以無論k為何值時，函數圖象與x軸總有交點；

（3）利用拋物線與x軸的交點問題，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0可得A（，0），B（﹣1，0），頂點P的坐標為（ ，﹣），當k＞0時，AB=，如圖1，作DE⊥x軸于E，根據等邊三角形的性質得DE=AB，即 =×，解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，所以k的值為2﹣2．

（1）解：當k=1時，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此時頂點坐標為（，﹣），所以①錯誤；

當k=2時，y=2x2﹣2，則拋物線的對稱軸為y軸，所以②正確；

當x=﹣1時，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=k﹣k+2﹣2=0；當x=0時，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=﹣2，所以無論k為何非零值，二次函數都經過（﹣1，0）和（0，﹣2），所以③正確；

故答案為：②③；

（2）證明：當k=0時，一次函數y=﹣2x﹣2與x軸有一個交點（﹣1，0）；

當k≠0時，△=（k﹣2）2﹣4k（﹣2）=（k+2）2≥0，此二次函數圖象與x軸有交點，

所以無論k為何值時，函數圖象與x軸總有交點；

（3）解：當y=0時，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=，

設A（，0），B（﹣1，0），頂點P的坐標為（，﹣），

AB=+1，如圖1，作DE⊥x軸于E．

∵△ABP為等邊三角形，

∴DE=AB，即 =×，

解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，

∴k的值為2﹣2．