Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O為AB邊中點，將△ABC繞點O逆時針旋轉60°至△EDA位置，連接CD．

（1）求證：OD⊥BC；

（2）求證：四邊形AODC為菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由旋轉的性質得出∠DOB=60°．再由已知條件得出∠OFB=90°即可；

（2）證出AC∥OD，連接OC，得出OA=OC=OB，由旋轉可知：OD=OB，因此OA=OC=OB=OD，證出△AOC為等邊三角形，得出AC=OA，因此AC=OD，證出四邊形AODC是平行四邊形，再由OA=OD，即可得出四邊形AODC是菱形．

（1）證明：由旋轉的性質可知：∠DOB=60°．

∵∠B=30°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

（2）證明：由（1）知∠OFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OFB，

∴AC∥OD，

在Rt△ABC中，O為AB邊中點，

連接OC，如圖所示：

∴OA=OC=OB由旋轉可知：OD=OB，

∴OA=OC=OB=OD，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°

∴△AOC為等邊三角形，

∴AC=OA，

∵OA=OD，

∴AC=OD，

∵AC∥OD，

∴四邊形AODC是平行四邊形，

又∵OA=OD，

∴四邊形AODC是菱形．