Question

【題目】已知直線y＝x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點C（m，0）在線段OA上（點C不與A，O點重合），CD⊥OA交AB于點D，交拋物線于點E，若DE＝AD，求m的值；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點D，B，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由見解析

【解析】

（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數法即可得出結論；

（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出結論；

（3）分兩種情況：①以BD為一邊，判斷出△EDB≌△GNM，即可得出結論．

②以BD為對角線，利用中點坐標公式即可得出結論．

（1）當x＝0時，y＝3，

∴B（0，3），

當y＝0時，x+3＝0，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

（2）∵CD⊥OA，C（m，0），

∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），

∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

∵AC＝m+3，CD＝m+3，

由勾股定理得：AD＝（m+3），

∵DE＝AD，

∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），

∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；

（3）存在，分兩種情況：

①以BD為一邊，如圖1，設對稱軸與x軸交于點G，

∵C（﹣2，0），

∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），

∴E與B關于對稱軸對稱，

∴BE∥x軸，

∵四邊形DNMB是平行四邊形，

∴BD＝MN，BD∥MN，

∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，

∴△EDB≌△GNM，

∴NG＝ED＝2，

∴N（﹣1，﹣2）；

②當BD為對角線時，如圖2，

此時四邊形BMDN是平行四邊形，

設M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），

∵B(0，3),D(-2，1),

∴

∴n＝-1，h＝0

∴N（﹣1，0）；

綜上所述，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．