Question

8．已知∠AOB=150°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線
（1）如圖（1），若∠BOC=60°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度數(shù)．
（2）如圖（2），若OC、OD是∠AOB內(nèi)部的兩條射線，OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）的值．
（3）如圖（3），C₁為射線OB的反向延長線上一點，將射線OB繞點O順時針以6°/s的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對應(yīng)射線為OB₁，旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB₁，OF為∠C₁OB₁的三等分線，∠C₁OF=$\frac{1}{3}$∠C₁OB₁，若|∠C₁OF-∠AOE|=30°，直接寫出t的值為9秒或15秒．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①當射線OD在∠BOC的內(nèi)部時，利用∠BOE-∠BOD來計算∠DOE的度數(shù)；②當射線OD在∠AOC的內(nèi)部時，利用∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，代入計算即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，然后根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；        
（3）①當∠BOB₁＜90°時，②當∠BOB₁＞90°時，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解（1）分兩種情況：
①當射線OD在∠BOC的內(nèi)部時，如圖1所示，
∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∠AOB=150°，
∴∠BOE=75°，
又∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC，且∠BOC=60°，
∴∠BOD=$\frac{2}{3}$∠BOC=$\frac{2}{3}$×60°=40°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-40°=35°；                      
②當射線OD在∠AOC的內(nèi)部時，
如圖2所示，同理得：∠BOE=75°，
∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$×60°=20°，
∴∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，
=20°+60°-75°，
=5°，
綜上所述，∠DOE=35°或5°；                            
（2）∵OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，
∴∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
又∠MOC=∠MOD-∠COD，∠NOD=∠CON-∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=（∠MOD-∠COD）-（∠CON-∠COD），
=$\frac{1}{2}$∠AOD-∠COD-（$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠BOC），
而∠AOD=∠AOC+∠COD，∠BOC=∠BOD+∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠COD-∠BOD-COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOD），
∴（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）=$\frac{∠AOC-∠BOD}{\frac{1}{2}（∠AOC-∠BOD）}$=2；                        

（3）①當∠BOB₁＜90°時，
∵∠BOB₁=6t，
∴∠AOB₁=150°+6t，
∵OE平分∠AOB₁，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}∠$AOB₁=$\frac{1}{2}$（150°+6t）=75^°+3t，
∵∠C₁OB₁=360°-∠C₁OB₁=180°-6t，
∵∠C₁OF=$\frac{1}{3}$∠C₁OB₁，
∴∠C₁OF=60°-2t，
∵|∠C₁OF-∠AOE|=30°，
∴75^°+3t-60°+2t=30°或60°-2t-75°-3t=30°，
∴t=9，
②當∠BOB₁＞90°時，
同理t=15，
故答案為：9秒或15秒．

點評 本題主要考查的是角的計算，根據(jù)OD的位置進行分類討論是解題的關(guān)鍵．