Question

【題目】點A、B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C（2，－2），CA、CB分別交坐標軸于D、E，CA⊥AB，且CA=AB.

（1）求點B的坐標；

（2）如圖2，連接DE，求證：BD－AE=DE.

Answer 1

【答案】（1）B（0，4）；（2）見解析

【解析】

（1）作CM⊥x軸于M，求出CM=OM=2，利用AAS證出△BAO≌△ACM，得出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）在BD上截取BF=AE，連AF，證△BAF≌△CAE，證△AFD≌△CED，即可得出答案．

解：（1）如圖1，作CM⊥x軸于M，

∵C（2，-2），
∴CM=2，OM=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中

∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．
（2）證明：如圖2，在BD上截取BF=AE，連AF，

∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，

∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
由（1）可知OA=OM，OD∥CM，
∴AD=DC，（圖1中），
在△AFD和△CED中，

∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE；