Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BO′，點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，若α=90°，求AA′的長；

（2）如圖②，若α=120°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；

（3）記K為AB的中點(diǎn)，S為△KA′O′的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）5（2）（，）（3）1≤S≤11

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理得AB=5，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠A′BA=90°，A′B=AB=5，然后即可得出AA′=5；
（2）作O′C⊥y軸，由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3，在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°得BC、O′C的長，即可得到答案；
（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)O′在AB上時(shí)，△KA′O′的面積最小，當(dāng)點(diǎn)O′在AB的延長線上時(shí)，△KA′O′的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題.

（1）如圖①，∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），

∴OA=4，OB=3．

在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，

根據(jù)題意，△A′BO′是△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，

∴AA′=5；

（2）如圖②，根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)是性質(zhì)可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3，

過點(diǎn)O′作O′C⊥y軸，垂足為C，則∠O′CB=90°，

在Rt△O′CB中，∵∠O′BC=60°，∠BO′C=30°，

∴BC=O′B=．

由勾股定理O′C=，

∴OC=OB+BC=，

∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）；

（3）如圖③中，

當(dāng)點(diǎn)O′在AB上時(shí)，△KA′O′的面積最小，最小面積=KO′×AO′=×（3-2.5）×4=1，

當(dāng)點(diǎn)O′在AB的延長線上時(shí)，△KA′O′的面積最大，最大面積=×KO′×AO′=×（3+2.5）×4=11．

綜上所述，1≤S≤11．