Question

（2012•大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個單位，若點P由A出發，以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運動，第一次回到點A處停止運動，設AP=S，用t表示運動時間．
（1）當點P由B到C運動的過程中，用t表示S；
（2）當t取何值時，S等于

7

（求出所有的t值）；
（3）根據（2）中t的取值，直接寫出在哪些時段AP＜

7

？

Answer 1

分析：（1）用t表示出PB的長，利用余弦定理即可表示出AP的長；
（2）令S等與

7

，建立關于t的方程，解答即可；
（3）利用（2）中所求，即可得出AP＜

7

時t的取值．

解答：解：（1）∵AB=3，BP=t-3；
∴AP²=3²+（t-3）²-2×3•（t-3）•cos60°
=9+9-6t+t²-6（t-3）×

1

2

=18-6t+t²+9-3t
=t²-9t+27，
∴S=

t2-9t+27

．

（2）當t在BC上時，
∵S=

7

，
∴t²-9t+27=7，
解得t₁=4，t₂=5；
當p在AB上時，t=

7

；
當p在CA上時，t=9-

7

．
當點P在BC上時，由（2）∵S=

t2-9t+27

開口向上，
與S=

7

交點橫坐標為t₁=4，t₂=5；
綜上所述：t=4或t=5或

7

或9-

7

；

（3）根據（2）可知：0≤t＜

7

；4＜t＜5；9-

7

＜t≤9；
這三個時間段內S＜

7

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、余弦定理、一元二次方程與二次函數之間的關系，難度較大，會解一元二次方程是解題的關鍵．