Question

【題目】在平面直角坐標系中，給出如下定義:已知兩個函數，如果對于任意的自變量,這兩個函數對應的函數值記為, 恒有點和點關于點成中心對稱(此三個點可以重合)，由于對稱中心都在直線上，所以稱這兩個函數為關于直線的“相依函數”。例如: 和為關于直線的 “相依函數”.

（1）已知點是直線上一點，請求出點關于點成中心對稱的點的坐標:

（2）若直線和它關于直線的“相依函數”的圖象與軸圍成的三角形的面積為，求的值;

（3）若二次函數和為關于直線的“相依函數”.

①請求出的值;

②已知點、點連接直接寫出和兩條拋物線與線段有目只有兩個交占時對應的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，-4）；（2）；（3）①-1，2 ； ②或

【解析】

（1）先求出點M的坐標，根據點M與點N關于成中心對稱，即可求出點N的坐標；

（2）設點和點分別是直線與它的“相依函數”的圖象上的任意一點，根據相依函數的定義，可得：直線關于直線y=x的相依函數是：，結合“直線和它關于直線的“相依函數”的圖象與軸圍成的三角形的面積為”，列出關于n的方程，即可求解；

（3）①由相依函數的定義，得：，化簡整理后，即可求解；②分四種情況畫出二次函數，的圖象，即可得到答案．

（1）∵點是直線上一點，

∴，即：，

∵點N與點關于成中心對稱，

∴；

（2）設點和點分別是直線與它的“相依函數”的圖象上的任意一點，

∴，

，

∴直線關于直線y=x的相依函數是：，

聯立，解得：，

∴直線與直線的交點的橫坐標為，

∵直線與直線與y軸的交點坐標分別是：(0，n)，(0，-n)，

由題意得：，解得：；

（3）①由題意得：，

∴，對于任意的x都成立，

∴，解得：；

②由第①小題，可知：，，

當時，如圖1，

當時，如圖2，

當時，如圖3，

當時，如圖4，

綜上可知:或時，拋物線與線段有且只有兩個交點．