Question

【題目】如圖1，D是邊長為4㎝的等邊△ABC的邊AB上的一點，DQ⊥AB交邊BC于點Q，RQ⊥BC交邊AC于點R，RP⊥AC交邊AB于點E，交QD的延長線于點P.

圖1 圖2

①請說明△PQR是等邊三角形的理由；

②若BD=1.3㎝，則AE=_______㎝（填空）

③如圖2，當點E恰好與點D重合時，求出BD的長度.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.4cm；（3）.

【解析】

（1）△PQR是等邊△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；（2）靈活運用Rt△中30°所對的邊是斜邊的一半的知識；（3）根據(jù)（1）（2）得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），得3DB=AB易求結果.

解：（1）根據(jù)題意，△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等邊三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4cm，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=（cm）．