Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(5，0)，與y軸相交于點C(0，)．

（1）求該函數的表達式；

（2）設E為對稱軸上一點，連接AE、CE；

①當AE+CE取得最小值時，點E的坐標為　 　；

②點P從點A出發，先以1個單位長度/的速度沿線段AE到達點E，再以2個單位長度的速度沿對稱軸到達頂點D．當點P到達頂點D所用時間最短時，求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①(2，)；②點E(2，)．

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；

（2）①點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接CB交函數對稱軸于點E，則點E為所求，即可求解；

②t＝AE+DE，t＝AE+DE＝AE+EH，當A、E、H共線時，t最小，即可求解．

（1）拋物線的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，

故﹣5a＝，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：；

（2）①函數的對稱軸為：x＝2，

點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接CB交函數對稱軸于點E，則點E為所求，

由點B、C的坐標得，BC的表達式為：y＝﹣x+，

當x＝2時，y＝，

故答案為：(2，)；

②t＝AE+DE，

過點D作直線DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于點H，則HE＝DE，

t＝AE+DE＝AE+EH，當A、E、H共線時，t最小，

則直線A(E)H的傾斜角為：30°，

直線AH的表達式為：y＝ (x+1)

當x＝2時，y＝，

故點E(2，)．