Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且tanα=有以下的結論：① △ADE∽△ACD；② 當CD=9時，△ACD與△DBE全等；③ △BDE為直角三角形時，BD為12或；④ 0＜BE≤，其中正確的結論是___________（填入正確結論的序號）

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

試題解析：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，

∴△ADE∽△ABD；

故①錯誤；

②作AG⊥BC于G，

∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，

∴，

∴，

∴cosα=，

∵AB=AC=15，

∴BG=12，

∴BC=24，

∵CD=9，

∴BD=15，

∴AC=BD．

∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，

∴∠EDB=∠DAC，

在△ACD與△DBE中，

，

∴△ACD≌△BDE（ASA）．

故②正確；

③當∠BED=90°時，由①可知：△ADE∽△ABD，

∴∠ADB=∠AED，

∵∠BED=90°，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，

∴

∴BD=12．

當∠BDE=90°時，易證△BDE∽△CAD，

∵∠BDE=90°，

∴∠CAD=90°，

∵∠C=α且cosα=，AC=15，

∴cosC=，

∴CD=．

∵BC=24，

∴BD=24-=

即當△DCE為直角三角形時，BD=12或．

故③正確；

④易證得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，

設CD=y，BE=x，

∴，

∴，

整理得：y2-24y+144=144-15x，

即（y-12）2=144-15x，

∴0＜x≤，

∴0＜BE≤．

故④錯誤．

故正確的結論為：②③．