Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說明理由；

（3）在運動過程中，四邊形BEDF能否為正方形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當t=10時，四邊形AEFD是菱形；（3）四邊形BEDF不能為正方形，理由見解析.

【解析】

（1）由已知條件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF= CD=AE=2t；

（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四邊形ADFE是平行四邊形，若構成菱形，則鄰邊相等即AD=AE，可得關于t的方程，求解即可知；

（3）四邊形BEDF不為正方形，若該四邊形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此時AD=2AE=4t，根據AD+CD=AC求得t的值，繼而可得DF≠BF，可得答案．

(1)∵Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°，

∴∠C=90°∠A=30°.

又∵在Rt△CDF中,∠C=30°，CD=4t

∴DF=CD=2t，

∴DF=AE；

(2)∵DF∥AB，DF=AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，

即604t=2t，解得：t=10，

即當t=10時，四邊形AEFD是菱形；

(3)四邊形BEDF不能為正方形，理由如下：

當∠EDF=90°時,DE∥BC.

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t= 時,∠EDF=90°

但BF≠DF，

∴四邊形BEDF不可能為正方形。