Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F．

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形OBD中，設OF=OD=x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．

試題解析：（1）BC與⊙O相切．

證明：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．又∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC過半徑OD的外端點D，∴BC與⊙O相切．

（2）設OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，∴OB=2+2=4，∵Rt△ODB中，OD=OB，∴∠B=30°，∴∠DOB=60°，∴S扇形AOB==，則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF=×2×﹣=．故陰影部分的面積為．