Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+x+c經過A（4，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

【解析】

（1）由拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點，利用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；

（2）設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-t2+t-2，過D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長，繼而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函數的性質，即可求得點D的坐標及△DCA面積的最大值．

解：（1）將點A（4，0）、B（1，0）代入拋物線解析式得：

，

解得：，

則拋物線解析式為；

存在．

如圖1，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為﹣t2+t﹣2．

過D作y軸的平行線交AC于E．

設直線AC的解析式為：y＝mx+n，

則 ，

解得：，

由題意可求得直線AC的解析式為y＝x﹣2．

∴E點的坐標為（t，t﹣2）．

∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．

∴S△DCA＝S△CDE+S△ADE＝×DE×OA＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．

∴當t＝2時，S最大＝4．

∴當D（2，1），△DAC面積的最大值為4．