Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點B（0，8）為端點的射線BG∥x軸，點A是射線BG上一個動點（點A與點B不重合），在射線AG上取AD=OB，作線段AD的垂直平分線，垂足為E，且與x軸交于點F，過點A作AC⊥OA，交射線EF于點C，連接OC、CD．設點A的橫坐標為t．

（1）用含t的式子表示點E的坐標為 ；
（2）當t為何值時，∠OCD=180°？
（3）當點C與點F不重合時，設△OCF的面積為S，求S與t之間的函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）（t+4，8）
（2）

【解答】解：

如圖所示；過點D作DH⊥OF，垂足為H．

∵AC⊥OA，

∴∠OAC=90°．

∴∠BAO+∠EAC=90°．

又∵∠BOA+∠BAO=90°，

∴∠EAC=∠BOA．

又∵∠OBA=∠AEC，

∴△OBA∽△AEC．

∴，即．

∴EC=．

∴點C的坐標為（t+4，8﹣）

∵∠OCD=180°，

∴點C在OD上．

∵CF∥DH，

∴，即

解得：，（舍去）．

所以當t=4﹣4時，∠OCD=180°．

（3）

當0＜t＜16時，三角形OCF的面積=×OFFC=（t+4）（8-t）=，

當t＞16時，三角形OCF的面積=×OFFC=（t+4）（t﹣8）=，

∴s與t的函數關系式為s=．

【解析】（1）由點B坐標為（0，8），可知OB=8，根據線段垂直平分線的定義可知：AE=4，從而求得：BE=t+4，故此點E的坐標為（t+4，8）；
（2）過點D作DH⊥OF，垂足為H．先證明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性質可知，可求得EC=，從而得到點C的坐標為（t+4，8﹣），因為∠OCD=180°，CF∥DH，可知，即從而可解得t的值；
（3）三角形OCF的面積=×OFFC ， 從而可得S與t的函數關系式．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．