Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2 ，DE=2，求AD的長．
（3）在（2）的條件下，求弧BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A

（2）解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ = ，

∴EC2=DEAE，

∴（2 ）2=2（2+AD），

∴AD=4

（3）解：∵直角△CDE中，tan∠DCE= = = ，

∴∠DCE=30°，

又∵△AEC∽△CED，

∴∠A=∠DCE=30°，

∴∠DOB=2∠A=60°，BD=ADtanA=4× = ，

∴△OBD是等邊三角形，則OD=BD= ，

則弧BD的長是 =

【解析】（1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90°，根據AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據等腰三角形的性質得到∠ADO=∠A，即可得到結論；（2）根據垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據平行線的性質得到∠DCE=∠BDC，根據相似三角形的性質得到 = ，解方程即可得到結論；（3）利用三角函數求得∠DCE的度數，根據△AEC∽△CED，求得∠A的度數，則∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，從而求得半徑，然后利用弧長公式求解．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和弧長計算公式的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的才能正確解答此題．