Question

【題目】如圖，以線段AB為直徑作⊙O，CD與⊙O相切于點E，交AB的延長線于點D，連接BE，過點O作OC∥BE交切線DE于點C，連接AC．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BD=OB=4，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OE，

∵CD與圓O相切，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°，

∵BE∥OC，

∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠AOC=∠COE，

在△AOC和△EOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CEO=90°，

則AC與圓O相切；

（2）

解：在Rt△DEO中，BD=OB，

∴BE=OD=OB=4，

∵OB=OE，

∴△BOE為等邊三角形，

∴∠ABE=60°，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE=BEtan60°=

【解析】（1）連接OE，根據CD與圓O相切，利用切線的性質得到OE垂直于CD，再由OC與BE平行，得到同位角相等與內錯角相等，根據OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到夾角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC與三角形EOC全等，利用全等三角形對應角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得證；
（2）根據題意得到EB為直角三角形斜邊上的中線，求出EB的長，再由OE=OB=EB得到三角形OEB為等邊三角形，求出∠ABE=60°，根據AB為圓O直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到三角形AEB為直角三角形，利用銳角三角函數定義求出AE的長即可．