Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1，AO=2．經過原點的拋物線的對稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經過點O和C．現在利用圖2進行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉，兩直角邊分別交OA、OC于點E、F，當點E和點A重合時停止旋轉．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，求出的值．
②設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為D，頂點為M，在①的旋轉過程中，是否存在點F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）①的值不變。理由見解析
②存在。理由見解析

分析：（1）根據拋物線過原點和對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式。
（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽Rt△PGF，則有，的值是定值，不變化。
②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。
解：（1）∵拋物線經過原點，∴n=0。
∵拋物線對稱軸為直線x=2，∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）①的值不變。理由如下：
如答圖1所示，過點P作PG⊥x軸于點G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．
在Rt△PAE與Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF。
∴。．
②存在。
拋物線的解析式為：，
令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。
又，∴頂點M坐標為（2，﹣1）。
若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：
（ⅰ）FM=FD，如答圖2所示，

過點M作MN⊥x軸于點N，則MN=1，ND=2，。
設FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：，解得：。
∴FD=，OF=OD﹣FD。
∴F（，0）。
（ⅱ）若FD=DM．如答圖3所示，

此時FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。
∴F（，0）。
（ⅲ）若FM=MD，
由拋物線對稱性可知，此時點F與原點O重合，而由題意可知，點E與點A重合后即停止運動，故點F不可能運動到原點O。
∴此種情形不存在。
綜上所述，存在點F（，0）或F（，0），使△DMF為等腰三角形。