Question

如圖①，將直角邊長為1的等腰直角三角形ABC繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得△A₁B₁C，A₁C交AB于點D，A₁B₁分別交于BC、AB于點E、F，連接AB₁．
（1）求證：△ADC∽△A₁DF；
（2）若α=30°，求∠AB₁A₁的度數；
（3）如圖②，當α=45°時，將△A₁B₁C沿C→A方向平移得△A₂B₂C₂，A₂C₂交AB于點G，B₂C₂交BC于點H，設CC₂=x（0＜x＜

2

），△ABC與△A₂B₂C₂的重疊部分面積為S，試求S與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉變換的性質得到：∠CAD=∠FA₁D，又由∠1=∠2，易證得△ADC∽△A₁DF；
（2）由四點共圓的知識，易得點A、A₁、B、B₁均在以C為圓心半徑為的圓上，又由同弧所對的圓周角相等，可求得∠AB₁A₁的度數；
（3）△A₁B₁C在平移的過程中，易證得△AC₂G、△HB₂E、△A₂FG、△C₂HC、△FBE均是等腰直角三角形，四邊形AC₂B₂F是平行四邊形，然后由勾股定理即可求得S與x的函數關系式．

解答：（1）證明：如圖，根據旋轉變換的性質易知：∠CAD=∠FA₁D，
∵∠1=∠2，
∴△ADC∽△A₁DF；

（2）解：
（法一）∵CA=CA₁=CB=CB₁=1，
∵點A、A₁、B、B₁均在以C為圓心半徑為AC的圓上，
∴∠AB₁A₁=α=

1

2

×30°=15°；
（法二）如圖①，
∵AC=B₁C，
∴∠4=∠3，
∵α=30°，∠A₁CB₁=90°，
∴∠ACB₁=120°，
∴∠4=

180°-∠ACB1

2

=30°，
∴∠AB₁A₁=∠CB₁A₁-∠4=45°-30°=15°；
（法三）如圖①，
∵AC=B₁C，
∴∠4=∠3，
∵∠CAB=∠CB₁A₁，
∴∠CAB-∠3=∠CB₁A₁-∠4，
即∠B₁AB=∠AB₁A₁，
∵∠5=∠B₁AB+∠AB₁A₁，
∴∠5=2∠AB₁A₁，
∵△ADC∽△A₁DF，
∴∠5=α，
∴∠AB₁A₁=

1

2

∠5=

1

2

α=15°；

（3）解：△A₁B₁C在平移的過程中，易證得△AC₂G、△HB₂E、△A₂FG、△C₂HC、△FBE均是等腰直角三角形，四邊形AC₂B₂F是平行四邊形，
∵AB=

AC2+BC2

=

2

，
∴當α=45°時，CE=CD=

1

2

AB=

2

2

，
情形①：當0＜x＜1時（如圖2所示），
△A₂B₂C₂與△ABC的重疊部分為五邊形C₂HEFG，
S_{五邊形C2HEFG}=S_{平行四邊形AC2B2F}-S_Rt△AC2G-S_Rt△HB2E，
∵C₂C=x，
∴CH=x，AC₂=1-x，B₂E=HE=1-x，
∴AG=C₂G=

2

2

AC₂=

2

2

（1-x）=

2

2

-

2

2

x，
∴S_{平行四邊形AC2B2F}=AC₂•CE=（

2

2

-

2

2

x）•

2

2

=

1

2

-

1

2

x，
S_Rt△AC2G=

1

2

•AG²=

1

2

（

2

2

-

2

2

x） ²=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
S_Rt△HB2E=

1

2

•B₂E²=

1

2

(1-x)2=

1

2

-x+

1

2

x2，
∴S_{五邊形C2HEFG}=

1

2

-

1

2

x-（

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

）-（

1

2

-x+

1

2

x2）=-

3

4

x²+x-

1

4

，
情形②：當1≤x＜

2

時（如圖3所示），
△A₂B₂C₂與△ABC的重疊部分為直角梯形C₂B₂FG，
S_{直角梯形C2B2FG}=S_{平行四邊形C2B2FA}-S_Rt△AC2G=AC₂•CE-

1

2

AG²
=

1

2

-

1

2

x-（

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

）=-

1

4

x²+

1

4

；

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及平移的性質與平行四邊形的性質．題目比較復雜，特別是圖形復雜，解題時要注意仔細識圖，準確的應用數形結合思想．