Question

【題目】如圖，函數y= （x＞0）圖象上一點P的橫坐標是4，過點P作直線l交x軸于點A，交y軸負半軸于點B，且OA=OB．

（1）求直線l的函數解析式；
（2）過點P作直線l的垂線l1 ， 交函數y= （x＞0）圖象于點C，求△OPC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數y= （x＞0）圖象上一點P的橫坐標是4，

∴點P的坐標為（4，1），

過P作PE⊥y軸于E，

則PE=4，OE=1，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠EBA=∠OAB=45°=∠EPB，

∴PE=EB=4，

∴OB=3，OA=3，

∴B的坐標為（0，﹣3），

設直線l的解析式為y=ax+c，

把B、P的坐標代入得： ，

解得：a=1，c=﹣3，

∴直線l的函數解析式為y=x﹣3；

（2）解：設直線PC交y軸于F，

∵l1⊥l，∠OBA=45°，

∴∠EFP=45°，

∴EF=PE=4，

∴OF=4+1=5，

∴F的坐標為（0，5），

設直線l1的解析式為y=ex+f，

把P和F的坐標代入得： ，

解得：e=﹣1，f=5，

∴直線l1的解析式為y=﹣x+5，

解方程組 得： 或 ，

即C的坐標為（1，4），

∵F（0，5），C（1，4），P（4，1），B（0，﹣3），

∴△OPC的面積S=S△FPB﹣S△FCO﹣S△POB= ×（5+3）×4﹣ ﹣ =

【解析】（1）求出P點的坐標，過P作PE⊥y軸于E，求出PE=4，OE=1，PE-EB=4，求出B點的坐標，設直線l的解析式為y=ax+c，把B、P兩點的坐標代入即可；（2）設直線PC交y軸于F，求出F點的坐標，求出直線l1的解析式，求出C點的坐標，根據各個點的坐標求出面積即可。
【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能得出正確答案．