Question

【題目】如圖，已知拋物線y= （x+2）（x﹣4）與x軸交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）設動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；
（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P，A，B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣ ，

∴點C（0，﹣ ）

（2）解：將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點M的坐標為（1，﹣ ）

∴點M關于直線x=﹣2的對稱點M′的坐標為（﹣5， ）

設直線M′B的解析式為y=kx+b

將點M′、B的坐標代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y= ．

將x=﹣2代入得：y=﹣ ，

所以n=﹣ ．

（3）解：過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD= =3 ，

BD= ，

如下圖，①當P1AB∽△ADB時，

即：

∴P1B=6

過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴ 即：

解得：P1M1=6 ，

∵ 即：

解得：BM1=12

∴點P1的坐標為（﹣8，6 ）

∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當△P2AB∽△BDA時， 即：

∴P2B=6

過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴ ，即：

∴P2M2=2

∵ ，即：

∴M2B=8

∴點P2的坐標為（﹣4，2 ）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2 ，

∴點P2在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關于直線x=1對稱，

∴P4的坐標為（6，2 ），

當點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標為（0，﹣ ），

綜上所述點P的坐標為：（﹣4，2 ）或（6，2 ）或（0，﹣ ）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似

【解析】（1）令y=0可求得點A、B的橫坐標，令x=0可求得C點的橫坐標；（2）根據兩點之間線段最短作M點關于直線X=-2的對稱點M′，當點N在直線M′B上時MN+BN的值最小；（3）需要分類討論;①當P1AB∽△ADB時，當△P2AB∽△BDA時根據相似三角形的性質求得PB的長度，然后求出P點的坐標。
【考點精析】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．