Question

【題目】在平面直角坐標系中，點B、A分別在x軸和y軸上，連接AB，已知∠ABO=60°，BC平分∠ABO交y軸于點C，且BC=8．

（1）求點A的坐標；
（2）點P從點B出發，沿射線BC方向以每秒2個長度單位的速度運動，過點P作PQ⊥y軸于Q，設點P的運動時間為t秒，試用t表示線段CQ的長；
（3）點D是點B關于y軸的對稱點，在（2）的條件下，連接OP、DQ、CD，當 時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ABO=60°，BC是角平分線，

∴∠ABC=∠CBO=30°，

在直角△BOC中，OC=BCsin∠CBO= BC=4，即C的坐標是（0，4）．

又∵直角△ABO中，∠BAO=90°﹣∠ABO=90°﹣60°=30°，

∴∠BAO=∠ABC=30°，

∴AC=BC=8，

∴OA=8+4=12，

∴A的坐標是（0，12）

（2）

解：當0≤t≤4時，如圖1，P在BC上，BP=2t，則PC=8﹣2t，

在直角△PCQ中，∠CPQ=∠CBO=30°，

則CQ= PC= （8﹣2t）=4﹣t；

當t＞4時，P在BC的延長線上，如圖2．

BP=2t，則CP=2t﹣8，

在直角△PCQ中，∠CPQ=30°，CQ= PC= （2t﹣8）=4﹣4

（3）

解：在直角△BOC中，OB=BCcos∠CBO=8× =4 ，則B的坐標是（﹣4 ，0），則D的坐標是（4 ，0）．

當0≤t≤4時，如圖1，P在線段BC上，作PF⊥OB于點F．則PF= BP=t，則S△BOP= ×4 t=2 t，

CQ=4﹣t，則S△DCQ= （4﹣t）×4 =﹣2 t+8 ，

當 時，2 t= （﹣2 t+8 ），解得：t= ；

當t＞4時P在BC的延長線上，如圖2．作PF⊥OB于點F．則PF= BP=t，則S△BOP= ×4 t=2 t，

CQ=4﹣t，則S△DCQ= （t﹣4）×4 =2 t﹣8 ，

當 時，2 t= （2 t﹣8 ），解得：t=9．

總之，t= 或9．

【解析】（1）首先在直角△BOC中，利用三角函數求得OC的長，然后證明BC=AC，則求得OA的長，得到A的坐標；（2）分成P在線段BC上和在BC的延長線上兩種情況進行討論，利用三角函數求解；（3）同（2）分成兩種情況討論，根據三角形面積公式利用t表示出△BPO和△DCQ的面積，然后解方程即可求解．
【考點精析】掌握銳角三角函數的定義是解答本題的根本，需要知道銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．