Question

【題目】在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．
（1）如圖①，當點H與點C重合時，可得FGFD．（大小關系）

（2）如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，猜想FG與FD的數量關系，并說明理由．

（3）在圖②中，當AB=8，BE=3時，利用探究的結論，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）

解：猜想FD=FG．

證明：連接AF，

由折疊的性質可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

，

∴△AGF≌△ADF．

∴FG=FD

（3）

解：設FG=x，

∵AB=8，BE=3，

∴BC=CD=8，

∴FC=8﹣x，FE=3+x，EC=8﹣3=5，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（8﹣x）2+52，

解得x= ．

∴CF=8﹣ = ，

即FG的長為

【解析】解：（1）連接AF，
由折疊的性質可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
，
∴△AGF≌△ADF．
∴FG=FD．
故答案為：=；

（1）連接AF，根據圖形猜想FD=FG，由折疊的性質可得AB=AG=AD，再結合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結論．（2）連接AF，根據圖形猜想FD=FG，由折疊的性質可得AB=AG=AD，再結合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結論．（3）設FG=x，則FC=8﹣x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出答案．