Question

已知關于x的一元二次方程x²+(m+3)x+m+1=0．
⑴求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
⑵若x₁，x₂是原方程的兩根，且，求m的值，并求出此時方程的兩根．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）m=-3時，x₁=，x₂=-；m=1時，x₁=-2+，x₂=-2-.

試題分析：（1）根據關于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b²-4ac的符號來判定該方程的根的情況；（2）根據根與系數的關系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知條件“|x₁-x₂|=”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，從而列出關于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
試題解析：（1）證明：∵△=（m+3）²-4（m+1）=（m+1）²+4
∵無論m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程總有兩個不相等的實數根
（2）∵x₁，x₂是原方程的兩根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=
∴（x₁-x₂）²=（）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0
解得：m₁=-3，m₂=1
當m=-3時，原方程化為：x²-2=0
解得：x₁=，x₂=-
當m=1時，原方程化為：x²+4x+2=0
解得：x₁=-2+，x₂=-2-
考點: 1.根的判別式；2.根與系數的關系．