Question

聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．
應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=

1

2

AB，求∠APB的度數．
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

應用：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，
∵CD為等邊三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=

3

3

DB=

3

6

AB，
與已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=

1

2

AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；

探究：∵BC=5，AB=3，
∴AC=

BC2-AB2

=

52-32

=4，
①若PB=PC，設PA=x，則x²+3²=（4-x）²，
∴x=

7

8

，即PA=

7

8

，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或

7

8

．