Question

【題目】平面直角坐標系xOy（如圖），拋物線y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）與x軸交于點A、B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線l，過點C作直線l的垂線，垂足為點E，聯結DC、BC．

（1）當點C（0，3）時，

①求這條拋物線的表達式和頂點坐標；

②求證：∠DCE=∠BCE；

（2）當CB平分∠DCO時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；D（1，4）；（2）證明見解析；（3）m=；

【解析】

（1）①把C點坐標代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，從而得到拋物線解析式，

然后把一般式配成頂點式得到D點坐標；

②如圖1，先解方程﹣x2+2x+3=0得B（3，0），則可判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠

OBC=45°，再證明△CDE為等腰直角三角形得到∠DCE=45°，從而得到∠DCE=∠BCE；

（2）拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2，把一般式配成頂點式得

到拋物線的對稱軸為直線x=m，頂點D的坐標為（m，4m2），通過解方程﹣x2+2mx+3m2=0

得B（3m，0），同時確定C（0，3m2），再利用相似比表示出GF=2m2，則DG=2m2，接著證

明∠DCG=∠DGC得到DC=DG，所以m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，然后解方程可求出m．

（1）①把C（0，3）代入y=﹣x2+2mx+3m2得3m2=3，解得m1=1，m2=﹣1（舍去），

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

∵

∴頂點D為（1，4）；

②證明：如圖1，當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則B（3，0），

∵OC=OB，

∴△OCB為等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，

∵CE⊥直線x=1，

∴∠BCE=45°，

∵DE=1，CE=1，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∴∠DCE=45°，

∴∠DCE=∠BCE；

（2）解：拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=m，頂點D的坐標為（m，4m2），

當y=0時，﹣x2+2mx+3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，則B（3m，0），

當x=0時，y=﹣x2+2mx+3m2=3m2，則C（0，3m2），

∵GF∥OC，

∴即 解得GF=2m2，

∴DG=4m2﹣2m2=2m2，

∵CB平分∠DCO，

∴∠DCB=∠OCB，

∵∠OCB=∠DGC，

∴∠DCG=∠DGC，

∴DC=DG，

即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，

∴

而m＞0，

∴