Question

【題目】如圖1，在中，，點為邊上一點，連接BD，點為上一點，連接，，過點作，垂足為，交于點．

(1)求證：；

(2)如圖2，若，點為的中點，求證：；

(3)在(2)的條件下，如圖3，若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）6

【解析】

（1）根據直角三角形的性質可得，，然后根據三角形的內角和和已知條件即可推出結論；

（2）根據直角三角形的性質和已知條件可得，進而可得，，然后即可根據AAS證明≌，可得，進一步即可證得結論；

（3）連接，過點作交延長線于點，連接，如圖4．先根據已知條件、三角形的內角和定理和三角形的外角性質推出，進而可得，然后即可根據SAS證明△ABE≌△ACH，進一步即可推出，過點作于K，易證△AKD≌△CHD，可得，然后即可根據等腰三角形的性質推得DF=2EF，問題即得解決．

（1）證明：如圖1，，，

，，，

，

，；

（2）證明：如圖2，，，，

，，，

∵點為的中點，∴AD=CD，，

≌（AAS），，

，；

（3）解：連接，過點作交延長線于點，連接，如圖4．

，，

設，則，

，，

，，，

，∴△ABE≌△ACH（SAS），

，，

過點作于K，，

，，

∴△AKD≌△CHD（AAS），，

∵，

，

，．