Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE， 交 AC于點F.

(1)如圖①，當時，求的值；

(2)如圖②當DE平分∠CDB時，求證：AF=OA；

(3)如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=BG.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）利用相似三角形的性質求得與的比值，依據和同高，則面積的比就是與的比值，據此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得 可以證得，在直角中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接 易證是的中位線，然后根據是等腰直角三角形，易證 利用相似三角形的對應邊的比相等即可．

試題解析：(1)∵，∴

∵四邊形ABCD是正方形，

∴△CEF∽△ADF，∴，∴，∴；

(2)證明：∵DE平分∠CDB,

∴∠ODF=∠CDF，

∵AC、BD是正方形ABCD的對角線。

而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴AD=AF，

在中,根據勾股定理得：

AD==OA，

(3)證明：連接OE.

∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點，

點O是BD的中點。

又∵點E是BC的中點，

∴OE是△BCD的中位線，

∴=，∴.

.在 中，∵∠GCF=45°.∴CG=GF，

又∵CD=BC，∴，

∴=.

∴CG=BG.