Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB．

（1）判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）BD與⊙O相切；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線；

（2）過點D作DG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果．

試題解析：（1）BD與⊙O相切．證明如下：

連接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切線；

（2）如圖，過點D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA=，即CE=13，在Rt△EDG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴，∴AC=DG=，∴⊙O的直徑2OA=4AC=．