Question

【題目】如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點E，連接CE，過D作DF⊥AB于點F，∠BCD=2∠ABD．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若∠A=60°，DF=，求⊙O的直徑BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90°，則可證得AB是⊙O的切線；

（2）由∠A=60°，DF=，可求得AF、BF的長，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

試題解析：（1）證明：∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠CBE=90°，∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，∴∠BCE=∠DCE，即∠BCD=2∠BCE，∵∠BCD=2∠ABD，∴∠ABD=∠BCE，∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，∴CB⊥AB，∵CB為直徑，∴AB是⊙O的切線；

（2）∵∠A=60°，DF=，∴在Rt△AFD中，AF===1，AD=2．

∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴∠ADF=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADF∽△ACB，∴，設BC=x，則，解得x=，∴BC=．