Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程的兩個實數根，且|m|＜|n|，拋物線的圖象經過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀；

（3）點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為個單位長度，設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BCD是直角三角形；（3）S=．

【解析】

試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論；

（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可．

試題解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程的兩個實數根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵拋物線的圖象經過點A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線解析式為；

（2）令y=0，則，∴，，∴C（3，0），∵=，∴頂點坐標D（1，﹣4），過點D作DE⊥y軸，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；

（3）如圖，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直線BC解析式為y=x﹣3，∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，∴點M的橫坐標為t，∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，∴P（t，t﹣3），M（t，），過點Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．

①當點P在點M上方時，即0＜t＜3時，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如圖3，當點P在點M下方時，即t＜0或t＞3時，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．

綜上所述，S=．