Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．

（1）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；

（2）不難發現，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AP＝；（2）＜AP＜或AP＝2.5

【解析】

（1）如下圖，連接PF，先在Rt△ABC中，求得AC的長，然后根據平行四邊形的性質，推導出△DPF∽△DAC，根據相似三角形邊長關系得出AP的長 ；

（2）存在2種情況，一種是點P在移動過程中，先與CD相切，然后點P繼續向右移動，與BC相切，AP的長在這兩個臨界點之間；另一種情況是圓剛好過A、C、D三點時，也符合題意．

解：（1）如下圖所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，

設AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，AP＝；

（2）當⊙P與BC相切時，設切點為G，圖形如下，

SABCD＝＝5PG，

PG＝，

①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，

②⊙P過點A、C、D三點．，圖形如下，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，

此時AP＝2.5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝2.5．