【題目】已知，點P是等邊三角形△ABC中一點，線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ，連接PQ、QC．
（1）求證：△BAP≌△CAQ．
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的長度．
【答案】（1）見解析；（2）5
【解析】
（1）直接利用旋轉的性質結合全等三角形的判定與性質得出答案；
（2）直接利用等邊三角形的性質結合勾股定理即可得出答案．
（1）證明：∵線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
（2）∵由（1）得△APQ是等邊三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝
＝
＝5．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，點P在BC延長線上，PA是⊙O的切線，且∠B=35°．
（1）求∠PAC的度數．
（2）弦CE⊥AD交AB于點F，若AFAB=12，求AC的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．
（1）求證：BE＝CF；
（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BE的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，△OAB三個頂點的坐標分別為O（0，0），A（3，0），B（2，3）．
（1）tan∠OAB＝ ；
（2）在第一象限內畫出△OA'B'，使△OA'B'與△OAB關于點O位似，相似比為2：1；
（3）在（2）的條件下，S△OAB：S四邊形AA′B′B＝ ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，等腰直角三角形
中，點
、點
分別在
軸、
軸上，且
． 將繞點順時針旋轉使斜邊
落在軸上，得到第一個
；將繞點
順時針旋轉使邊
落在軸上，得到第二個
；將繞點
順時針旋轉使邊
落在軸上，得到第三個
；……順次這樣做下去，得到的第2019個三角形落在軸上的邊的右側頂點所走的路程為___________．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AN是⊙O的直徑，四邊形ABMN是矩形，與圓相交于點E，AB＝15，D是⊙O上的點，DC⊥BM，與BM交于點C，⊙O的半徑為R＝30．
（1）求BE的長．
（2）若BC＝15，求
的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球．
（Ⅰ）請用列表法（或畫樹狀圖法）列出所有可能的結果；
（Ⅱ）求兩次取出的小球標號相同的概率；
（Ⅲ）求兩次取出的小球標號的和大于6的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
(1)求證：△AEH≌△CGF．
(2)若∠EFG＝90°．求證：四邊形EFGH是正方形．
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