Question

如圖，點D，E分別是矩形OABC中AB和BC邊上的中點，點B的坐標為（6，4）
（1）寫出A，C，E，D四點的坐標；并判斷點O到直線DE的距離是否等于線段的OE長；
（2）動點F在線段DE上，FG⊥x軸于G，FH⊥y軸于H，求矩形面積最大時點F的坐標（利用圖1解答）；
（3）我們給出如下定義：分別過拋物向上的兩點（不在x軸上）作x軸的垂線，如果以這兩點及垂足為頂點的矩形在這條拋物線與x軸圍成的封閉圖形內部，則稱這個矩形是這條拋物線的內接矩形，請你理解上述定義，解答下面的問題：若矩形OABC是某個拋物線的周長最大的內接矩形，求這個拋物線的解析式（利用圖2解答）．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質和B點的坐標，易求出A、C、D、E的坐標，易知：CE=BE=3，BD=2，很明顯△CDE和△BDE不相似，因此∠CED≠∠BDE，也就是說∠CED+∠BED≠90°，OE與DE不垂直，因此O到ED的距離不等于OE的長；
（2）矩形的面積實際上是F點橫坐標與縱坐標的乘積，因此求出直線DE的解析式是解題的關鍵．可根據（1）得出的D、E的坐標求出直線DE的解析式，進而可根據矩形的面積公式得出矩形的面積S與F橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的F的坐標；
（3）本題可先根據B、C的坐標設出拋物線的解析式（使拋物線的待定系數只有二次項一個），假設矩形SPQR是拋物線的任意內接矩形（R、S在拋物線上），可根據拋物線的解析式設出R、S的坐標，即可表示出RS和RP的長，然后根據矩形周長的計算方法可得出關于矩形周長和R、S其中一點橫坐標的函數關系式，題中給出了拋物線內接矩形的周長最大時，x應該為6，因此得出的函數的對稱軸即為x=6，由此可確定拋物線的二次項系數的值．

解答：解：（1）A（6，0），D（6，2），E（3，4），C（0，4）
答：不等于
理由：連接OE，OD，ED．
∵OE²=25，ED²=13，OD²=40
∴OE²+ED²≠OD²
∴OE與DE不垂直，點O到直線ED的距離不是線段OE的長．
（證明方法很多，①△ODE的面積為9，求出DE邊上的高h=

18 13

13

與OE=5的長比較；
②在直線DE與x，y軸圍成的三角形中，利用等積法，求點O到直線DE的距離

18 13

13

與OE比較；
③證明△ODE和△EBD不相似，則∠OED≠90°；
④延長ED交x軸于P，在Rt△DAP中，tan∠EPO=2：3，而在△QEP中，OE：EP≠2：3，則∠OED≠90°．）

（2）解法一：
延長ED交x軸于點H．由已知得△EBD≌△HAD．
∴AH=EB=3
∴HO=9設OG=m，則HG=9-m．
由△HAD∽△HGF可得

HA

HG

=

AD

GF

即

3

9-m

=

2

GF

∴GF=

2

3

（9-m）=-

2

3

m+6
S_矩形OGFH=OG•GF=m（-

2

3

m+6）=-

2

3

m²+6m（3≤m≤6）
當m=-

b

2a

=-

6

2×(- 2 3 )

=

9

2

時，S_矩形OGFH最大
GF=-

2

3

×

9

2

+6=3
∴點F（

9

2

，3）．
解法二：設直線ED的解析式為y=kx+b，由圖象經過E，D兩點可得：

2=6k+b 4=3k+b

．
解得

k=- 2 3 b=6

．
∴y=-

2

3

x+6
設點F的坐標為F（m，n），
由點F在線段ED上可得：n=-

2

3

m+6
∵FG⊥x軸于點G，FH⊥y軸于點H，
∴FG=n，FH=m
∴S_矩形OGFH=mn=m（-

2

3

m+6）=-

2

3

m²+6m（3≤m≤6）
當m=-

b

2a

當m=-

b

2a

=-

6

2×(- 2 3 )

=

9

2

時，S_矩形OGFH最大
GF=-

2

3

×

9

2

+6=3
∴點F（

9

2

，3）

（3）設這個拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）由內接矩形的定義可知：
此拋物線經過B，C兩點，對稱軸x=-

b

2a

=3，且c=4
∴這個拋物線的解析式為y=ax²-6ax+4
如圖，設矩形SPQR是這個拋物線的任一內接矩形，且點R（x，y）由對稱性可知點S（6-x，y）
∴RS=2x-6，RQ=y
又∵點R在這個拋物線上，
∴y=ax²-6ax+4
∴C_矩形SPQR=2（2x-6+y）
=2（2x-6+ax²-6ax+4）=2ax²+（-4-12a）x-4
已知可知當x=6時，C_矩形SPQR取得最大值．
∴-4-12a=

2

3

a
∴a=-

1

3

因此，所求拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+2x+4．

點評：本題考查了矩形的性質、二次函數的應用等知識，綜合性強，難度較大．