Question

已知：如圖，四邊形ABCD內接于以BC為直徑的⊙O，且AB=AD，延長CB、DA，交于P點，CE與⊙O相切于點C，CE與PD的延長線交于點E．當PB=OC，CD=18時，求DE的長．

Answer 1

如圖，連接OA、BD，OA與BD交于F點，
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=

1

2

DC=9，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴

PO

PC

=

OA

DC

=

PA

PD

，
∵PB=OC，CD=18，
∴

2OB

3OB

=

OA

18

=

PA

PD

，解得OA=12，PA=

2

3

PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF=

122-92

=3

7

，
在Rt△ABF中，AB=

BF2+AF2

=6

2

，
∴PD=3×6

2

=18

2

，
∵CE與⊙O相切于點C，
∴CE⊥PC，EC²=DE•EA，
在Rt△PCE中，EC²=PE²-PC²，
∴DE•EA=PE²-PC²，即DE（DE+6

2

）=（18

2

+DE）²-36²，
∴DE=

54 2

5

．