Question

如圖①，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁、S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

1.研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點，如圖②所示，則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

2.請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

3.研究小組在進一步探究中發現：過點C任意作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF，如圖③所示，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

4.如圖④，點E是□ABCD的邊AB上的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是□ABCD的黃金分割線，請你畫一條□ABCD的黃金分割線，使它不經過□ABCD各邊黃金分割點．

 

Answer 1

【答案】

 

1.對。三角形面積=底×高。△ABC面積一定，在AB邊上的高一定，那么AD：AB=S△ADC：S△ABC=BD：AD=S△BCD：S△ACD ，符合圖形的黃金分割線定義。

2.否。三角形的中線將三角形的面積等分。設原三角形面積為S，則中線分割后的兩個三角形面積分別為，不滿足圖形的黃金分割線定義。

3.過D作BC邊上的高DD‘交BC于D'。過E作BC邊上的高EE’交BC于E'。 因為DF‖CE，所以BF：BC=BD：BE，

因為DD'‖EE'，所以BD：BE=DD‘：EE’，

因為 S△BCD=×EE'×BC

    S△BEF=×DD'×BF

所以S△BCD：S△BEF=1：1=1    即S△BCD=S△BEF

根據（1）及圖形的黃金分割線定義，EF也是黃金分割線。

4.過FE中點，與AB、CD分別相交即可

【解析】結合線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析計算；