Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）設△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，再由點D為邊AB的黃金分割點可得出

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，故可得出結論；
（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，故S_△DEC=S_△FCE，設直線EF與CD交于點G，由同底等高的三角形的面積相等可知S_△DEG=S_△FEG，故可得出S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FCG=S_△AEF，再由S_△BDC=S_{四邊形BEFC}，再由

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

可知

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，故直線EF也是△ABC的黃金分割線．

解答：解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設△ABC的邊AB上的高為h．
∵S_△ADC=

1

2

AD•h，S_△BDC=

1

2

BD•h，S_△ABC=

1

2

AB•h，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，
又∵點D為邊AB的黃金分割點，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
設直線EF與CD交于點G，
∴S_△DEG=S_△FCG，
∴S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FCG=S_{四邊形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_△BDC=S_{四邊形BEFC}，．
又∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到平行線的性質及三角形的面積公式，根據題意理解黃金分割點及分割線的定義是解答此題的關鍵．